Голография, и все что с ней связано.

Что-то мне тут всё равно не нравится. С одной стороны, формула (40) ограничивает пространственную частоту интерференционной картины (на фотопластинке, как я понимаю?) половиной длины волны. Это логично. Тут вопросов нет. Это зарегистрированная картинка. Но с другой стороны, линейное разрешение получаемого изображения (не интерференционной картины на фотопластинке!) ограничивает формула (37), а пространственная частота накладывает условие на эту формулу неравенством (43). Для Фурье-голограммы условие (43) вырождается и не учитывает угловую ширину решётки альфа. Следовательно, Фурье-голограмма не ограничивается длиной волны пополам. Половинный угол у нас пи радиан. Следовательно, предел Фурье-голограммы длина волны/3.14. То есть, меньше длины волны/2. Однако, альфа, как сказано, больше 1 радиана сделать трудно, а потому и разрешение ограничивает именно это ограничение. И получается предельное достижимое разрешение Фурье-голограммы длина волны /1 , что, конечно, хуже чем длина волны / 2. Однако, в этом случае у нас разрешение фотоматериалов оказывается малокритично.

Где я ошибся?

 

эта формула , а также связанные с ней 36и 38 описывает предел разрешения дифракционой решетки (37) в первом порядке дифракции, и остальные формулы тоже самое только в других переменных.

формула 43 описывает ситуацию когда задано разрешение (дисперсия) для оптического прибора (любого) и включены факторы кривизны волновых фронтов и геометрии эксперимента. Но сам предел длина волны попалам, остался прежним и далее выясняется какие геометрические факторы влияют и как на предельное разрешение.
smirholo ты где ? Тут вишь какие дела, требуется помощь!

 

Верно. Там именно это и написано.

Для решётки - остался. Но решётка сейчас описывает интерференцию не самого изображения с опорным пучком, а его Фурье-образа с опорным пучком. И меня смущает вот что: как связана точность воспроизведения объекта с точностью воспроизведения его Фурье-образа? Поясню примером - вот формат jpg использует дискретное косинусное преобразование из которого выбрасывают ряд членов по степени малости. И это приводит к незначительному ухудшению изображения. Так вот, Фурье-образ, восстановленный с решётки ограниченной длиной волны/2, он какому разрешению исходного изображения (не образа!) соответствует? Больше или меньше длины волны делённой на два?

 

Вот тут у вас путаница как мне кажется.
1. Решетка это и есть голограмма
2. Голограмма это интерференция опрного пучка и света отраженного от предмета записанный на носитель.
3. Фурье образ это все тоже изображение только в фокусе линзы.
Поэтому никакой разницы как формируется ( записывается ) решетка (голограмма) нет
Фурье образ это то же самое изображение, но в другой пространственной плоскости это фокальная плоскость , в этой плоскости просто каждая точка исходного изображения ( предмета освещеного светом) имеет свое направление ( угол с осью оптической ситемы) Те линейный размер в исходном предмете преобразуется в направление по углу в фокальной плоскости линзы. Но само изображение как его ни крути оно остается таким же как было, те содержит теже пространственные частоты. Далее регистрация, охватить 2-пи невозможно и регистрируется какая то часть углового спектра ( фурье образа) т.е. чем больше угол (больше пространственных частот) тем ближе разрешение в изображении зарегистрированном к пределу= длине волны попалам.

что-то тут я не понимаю , есть решетка (голограмма) записанная с предельным разрешением так? затем мы ее восстанавливаем, правильно я понял что вопрос- какова точность воспроизведения?
Если так, то все зависит какую часть голограммы мы освещаем при восстановлении если всю, то разрещшение будет предельно, если часть то разрешение уменьшается. Напр на голограмме записан портрет. Далее голограмму разрезаем на части, каждая часть при востановлении будет давать тот же портрет , но в меньшем разрешении , детализации

 

Дело в том, что искажения Фурье-образа не идентичны искажению оригинала. То есть, нарушения в частотной/фазовой областях сказываются на построенном по ним оригинале (при обратном преобразовании) по-разному, в зависимости от того, какие гармоники изменены. Если это высокие гармоники, то влияние на восстановленное изображение может быть очень невелико.

Вот это принципиально. Мы записываем спектр, а не само изображение.

Восстанавливаем спектр и из него получаем обратно изображение. Спектр восстанавливается с предельным разрешением, но, естественно, с нарушениями относительно идеального спектра, который мы пытались записать. И мысль в том, сколь сильно эти нарушения спектра влияют на восстановленное с такого Фурье-образа изображение.

Впрочем, тут, наверное, больше математическая задача. Если сделать дискретное преобразование Фурье для конечного синуса (без окна сглаживания) и ограничить число гармоник, то как связан дискрет восстановленного синуса с исходным дискретом синуса в зависимости от числа гармоник? Промоделировать что ли...

 

Ну это просто фильтр, высоких частот или низких, аналогия с элекрическими сигнала уместна и правильна и ведет к качественному пониманию результата фильтрации

 

Да, фильтр. Только надо сообразить, что было отфильтровано. Выше про ограничение числа гармоник я ошибся. Фильтруется ведь совсем другое.
1) Запись на решётке даёт восстановление спектра с разрешением не выше длина волны / 2.
2) Но что есть разрешение спектра? Это ведь не сами гармоники как спектр, это точность их представления. То есть, высшие и низшие гармоники сохраняются, но квантуются дискретом по длина волны / 2. Или нет? Как выглядит Фурье-образ точки? Так же как прямоугольного импульса конечного размера?



То есть, восстанавливается картинка справа с дискретизацией по амплитуде длина волны / 2.

3) Если пункт 2 верен, то в восстановленном по такому спектру изображении все высокие частоты сохраняются, а они как раз и определяют разрешение полученного изображения.

 

Мне кажется это утверждение перевернутым , на решетке записана структура ( линии ) шириной пол длины воны, это предел. Если делать это оптическими средствами, но есть и другие методы, можно сделать 8000 лин на мм , скажем фотолитографией. Но если говоим о конкретно голографии, запить осуществляется когерентным источником.
Если сделать линии менее полдлины волны, то свет их должен игнорировать, ничего мы не увидим как ни восстанавливай.

Это минимальный угол который различим в протсранствунных частотах. ф-ла 37 и иже с ней.

нет

Вот не задумывались почему скажем звезды видим в виде точки , даже в телескоп?
Лучи от звезды достигающие Земли параллельны, а Ф- образ константы, есть дельта функци! Точка!
Еще раз, вот предмет отражает свет, во все стороны. Набор лучей идущих во все стороны это спектр пространственных гармоник.
Ясно что вы их все не перехватите, хотя бы потому что опорный пучок имеет конечную апертуру.
Но, чем больше их уловит прибор (пластинка в голографии) тем точнее восстановленное изображение. Но само изображение может содержать элементы меньше длины волны! Что будет с ними увидим - нет?
В принципе если уловить лучи которые уходят куда нибудь в 2пи то да, но вот есть же еще переотражения, те мелкие детали рассеивают свет он переотражается и в результате эти лучи могут попасть в регистррируемые лучи и что? - это будет как фоновая засветка.
Но сверхразрешение возможно в небольших пределах, причем при этом приходится как правило , жертвовать основными лучами те небольшими порядкамти дифракции несущими основную информацию об объекте.

 

Структура шириной пол длины волны на решётке, это так. Как мы уже выше обсуждали, восстановленное изображение будет иметь разрешение не выше тех же пол-длины волны. Значит, если восстанавливается спектр, то это пространственное разрешение картинки спектра.

Да, но что это с точки зрения спектра? Если спектр это картинка распределения по частотам, то на количество этих частот это разрешение не влияет. Оно влияет на "плавность" перехода от одной частоты к другой.

Дельта-функция хороша для бесконечно малой точки с бесконечной амплитудой. Но у нас-то точка вещественная. Мы как бы представляем исходное изображение с помощью эдаких вокселей. Впрочем, точка там для примера.
Если заменить на дельта-функцию, спектр станет просто константой.

 

Это мне кажется это не верное понимане. У меня сложилось впечатление что вы под магией Фурье образов
Угловой спектр это тот же самый свет просто он характеризуется в переменных угла, а можно характериховать интенсивностью в плоскости. Эти две картины дополнительны друг к другу. Они характеризуют одно и тоже световое поле, просто разные характеристики.
Разрешение как его ни верти всегда одно и тоже

Именно что влияет, чем больше пространственных частот захвачено в изображении тем выше разрешение.

Пока тут математиков рядом нет скажу что это вульгарное понимание дельта функции. Но суть физическая изложеная выше верна. Те параллельный пучок света имеет ферье образом точку. Ясно что точка размыта по законом дифракции , но физика рассматриваемого явления (преобразоване паралльных лучей опттическим прибром ) остается, картинка конечно отсекает одни аспекты явления для иллюстрации другой особенности того же явления

 

Интересно.
То есть если поток параллельный, то объект всегда будет представляться точкой?
К примеру возьмем источник света, светодиод, или лампочку. Световой поток от них для наблюдателя в этом случае будет иметь сферический фронт волны. Но если поставить перед источником света достаточно малую диафрагму, к примеру 5 микрон и будет присутствовать некая дистанция до наблюдателя, что бы приходящий световой поток сформировался в плоский фронт. То такой источник света с диафрагмой нам будет представляться как точечный и при желании мы сможем наблюдать диск Эйри.
Правильно?

 

Эта дистанция называется дальней зоной, и суть ее в том что поперек пучка фаза волны меняется меньше чем пи.

Да забавный опыт, лучше взять указку или газовый лазер, наверно с указкой не очень, да на достаточно большой расстоянии можно будет видеть диск Айри, но вот по пути до этого диска будет места где по центру пучка будут темные пятна! Для этого надо чтобы источник обладал достаточной когерентностью

 

Только исходная картинка и изображение её спектра совсем разные вещи. Впрочем, я пропустил, что исходное разрешение света от объекта вовсе не бесконечно и ограничего длиной волны / 2. В таком случае, спектр не описывает деталей мельче и всё верно и для голографии и для глаза. Но тогда голограмма восстанавливает в пределе то же изображение, которое мы бы и так увидели глазом от реального объекта. Следовательно, расрешение голограммы в пределе (!) не хуже разрешения исходного объекта на данной длине волны и не превосходит длины волны / 2.

Тут я о другом: шаг записанных частот ограничен. То есть, для непрерывного спектра он становится дискретным. В нём так же есть сотые и тысячные и прочие гармоники, но нет, допустим, 101, 1001 и подобных гармоник (они слились с соседними). То есть, формально, разрешение мелких деталей будет (так как высокие гармоники сохранились), но какие-то детали смажутся. Впрочем, с вышеизложенным это смысла не имеет - спектр не описывает бесконечного разрешения исходного изображения.

 

Нет тут какое-то непонимание.
В углом спектре нет НИКАКИХ гармоник. Если скажем спектр диф рещетки, там все разбито на гармоники можно так выразиться в силу специфики объета.. Но в реальном объекте 3д нет дискретности, угловое распределение непрерывное присутствуют все углы.
Например рассеяние Ми. Спектр непрерывный, потому что объект очень мал по сравнению с длиной волны.

 

Тут больше вопрос терминологии. Гармоники там есть (это те функции, по которым выполняется преобразование), просто переход там плавный с бесконечном малым шагом. Вон они, exp(-2*PI*i*(ux+uy)). Просто они не дискретные и не все кратны целому числу (как обычно все привыкли).
Вот пример двумерного преобразования Фурье и его спектр:



Вот такой же спектр для картинки:

Так и есть. В обычном преобразовании Фурье спектр тоже получится непрерывный.

 

Это то что я сказал выше, объект в виде решетки!!!! Вы привели фурье образ квадратной дырки! Да для объектов такой формы линии, квдратные дырки, можно ввести гомоники. Ну тут тоже напр для круглой дырки тоже есть только они описываются функциями Бесселя. Но в сложном объекте спектр непрерывеый.

 

Непрерывный. С этим никто не спорит.
По функциям Бесселя. Тут такое дело, что спектры - это разложение по базисным ортогональным и ортонормированным функциям (по-моему, это всё ограничено Гильбертовым пространством, но могу и ошибаться). И этих базисов дофига и больше есть. И спектры будут получаться разные. Они ведь спектры для этих базисных функций. Для круглых отверстий функции Бесселя очень хорошо подходят на эту роль.

 

базисные функции выбираются в соответсви с геометрией, так что для круга Бессель, для прямоугольников синусы и тп
а спектр хоть в попугаях будет тот же!

 

Скорее, просто для удобства работы. Например, старые эпициклы при описании движения планет - это по сути просто разложение в спектр с неудачно выбранной системой базисных функций. Но стоит поменять базис, и длинный ряд для описания уже не нужен.

Это невозможно математически. Интегралы от этих функций разные.

 

нет исходная сущность спектр одна и та же а там метематическая лирика сходимости рядов физиков не интересует!!!